Question

已知函数f(x)=loga(

x2+m

+x)，(a＞0，a≠1)为奇函数，
1）求实数m的值；
2）求f（x）的反函数f^-1（x）；
3）若两个函数F（x）与G（x）在[p，q]上恒满足|F（x）-G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在[p，q]上是分离的．试判断函数f（x）的反函数f^-1（x）与g（x）=a^x在[1，2]上是否分离？若分离，求出a的取值范围；若不分离，请说明理由．

Answer 1

分析：1）根据f（x）为奇函数可知f（x）+f（-x）=0，解之即可求出m的值；
2）先将x用y表示出来，然后将x与y进行互换，最后根据原函数与反函数的关系即可求反函数；
3）记h(ax)=|f-1(x)-g(x)|=

1

2

(ax+

1

ax

)，假设f^-1（x）与g（x）在[1，2]是分离的，，则h（a^x）＞2在x∈[1，2]上恒成立，即h（a^x）_min＞2，然后根据函数的单调性求出h（a^x）的最小值即可．

解答：解：1）f（x）为奇函数⇒f（x）+f（-x）=0⇒m=1
2）ay=

x2+1

+x
∴（a^y-x）²=x²+1
即x=

1

2

（ay-

1

ay

）
∴f-1(x)=

1

2

(ax-

1

ax

)，x∈R
3）f-1(x)=

1

2

(ax-

1

ax

)
记h(ax)=|f-1(x)-g(x)|=

1

2

(ax+

1

ax

)
假设f^-1（x）与g（x）在[1，2]是分离的，，则h（a^x）＞2在x∈[1，2]上恒成立，
即　h（a^x）_min＞2．
①当a＞1时，x∈[1，2]，a^x∈[a，a²]，h（a^x）在a^x∈[a，a²]上单调递增，h(ax)min=h(a)=

1

2

(a+

1

a

)＞2⇒a＞2+

3

；
②当0＜a＜1时，x∈[1，2]，a^x∈[a²，a]，h（a^x）在a^x∈[a²，a]上单调递减，h(ax)min=h(a)=

1

2

(a+

1

a

)＞2⇒0＜a＜2-

3

；
故a的取值范围是：(0，2-

3

)∪(2+

3

，+∞)．

点评：本题主要考查了对数函数图象与性质的综合应用，以及反函数的求解和新定义的理解，属于中档题．