【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)如果对于任意的,
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)设函数,
,过点
作函数
的图象的所有切线,令各切点的横坐标按从小到大构成数列
,求数列
的所有项之和的值.
【答案】(1)增区间为;减区间为
.(2)
(3)
【解析】试题分析:(1)求单调区间则根据导数解不等式即可(2)令
要使
恒成立,只需当
时,
分析函数单调性求出最小值解不等式即可(2)
设切点坐标为
,则切线斜率为
从而切线方程为
代入M
,令
,
,这两个函数的图象均关于点
对称,则它们交点的横坐标也关于
对称,从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列
的项也关于
成对出现根据此规律即可分析得解
试题解析:
⑴
的增区间为
;减区间为
.
⑵令
要使恒成立,只需当
时,
令,则
对
恒成立
在
上是增函数,则
①当时,
恒成立,
在
上为增函数
,
满足题意;
②当时,
在
上有实根
,
在
上是增函数
则当时,
,
不符合题意;
③当时,
恒成立,
在
上为减函数,
不符合题意
,即
.
⑶
设切点坐标为,则切线斜率为
从而切线方程为
令,
,这两个函数的图象均关于点
对称,则它们交点的横坐标也关于
对称,从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列
的项也关于
成对出现,又在
共有1008对,每对和为
.
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知,曲线
上任意一点
满足
;曲线
上的点
在
轴的右边且
到
的距离与它到
轴的距离的差为1.
(1)求的方程;
(2)过的直线
与
相交于点
,直线
分别与
相交于点
和
.求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=lnx﹣ ax2+(1﹣a)x,其中a∈R,f(x)的导函数是f′(x).
(1)求函数f(x)的极值;
(2)在曲线y=f(x)的图象上是否存在不同的两点A(x1 , y1),B(x2 , y2)(x1≠x2),使得直线AB的斜率k=f′( )?若存在,求出x1与x2的关系;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查 结果如下表所示:
(1)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;
(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.
,
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】比较下列各题中两个数的大小:
(1)log60.8,log69.1;
(2)log0.17,log0.19;
(3)log0.15,log2.35
(4)loga4,loga6(a>0,且a≠1)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】定义在R上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意的x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2.
(1)求f(0)的值;
(2)求证:对任意x∈R,都有f(x)>0;
(3)解不等式f(3﹣2x)>4.
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