Question

17．如图，在△ABC中，AB=5，AC=9，若O为△ABC内一点，且满足|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，则$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$的值是28．

Answer 1

分析 如图所示，取BC的中点D，连接OD，AD．则$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），OD⊥BC，即$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{BC}$=0．于是$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$）•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{DO}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$），化简代入即可得出．

解答 解：由题意，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，则O是外心．
如图所示，取BC的中点D，连接OD，AD．
则$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），OD⊥BC，即$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{BC}$=0．
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$）•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{DO}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$
=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$²-$\overrightarrow{AB}$²）=$\frac{1}{2}$（81-25）=28．
故答案为：28．

点评 本题考查了数量积运算性质、向量平行四边形法则、垂经定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．