Question

7．将边长为4正三角形薄片，用平行于底边的两条直线剪成三块（如图所示），这两条平行线间的距离为$\sqrt{3}$，其中间一块是梯形记为ABCD，记$S=\frac{{{{（{梯形ABCD的周长}）}^2}}}{梯形ABCD的面积}$，则S的最小值为$\frac{32\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F，设AB=x，用x表示出梯形的周长和面积，求出S关于x的函数，利用基本不等式得出S的最小值．

解答 解：作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F，则AE=BF=$\sqrt{3}$，
∵∠ADE=∠BCF=60°，
∴DE=CF=1，AD=BC=2，
设AB=x（0≤x≤4），则梯形ABCD的周长为2x+6，
梯形ABCD的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x+x+2）=$\sqrt{3}$（x+1）．
∴S=$\frac{（2x+6）^{2}}{\sqrt{3}（x+1）}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$•$\frac{{x}^{2}+6x+9}{x+1}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$•（x+1+$\frac{4}{x+1}$+4）≥$\frac{4}{\sqrt{3}}•（4+4）$=$\frac{32\sqrt{3}}{3}$．
当且仅当x+1=$\frac{4}{x+1}$即x=2时取等号．
故答案为：$\frac{{32\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了函数解析式的求解，基本不等式与函数最值的计算，属于中档题．