Question

19．已知矩阵A=$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\{b}&{0}\end{array}]$，其中a，b∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点Q（3，3），向量$\overrightarrow{β}$=$[\begin{array}{l}{5}\\{9}\end{array}]$．
（1）求a，b的值及矩阵A的特征值、特征向量；
（2）计算A²⁰$\overrightarrow{β}$．

Answer 1

分析 （1）根据矩阵的坐标变换，代入，列方程组，即可求得a和b的值，求得矩阵A，求得矩阵A的特征多项式f（λ），令f（λ）=0，求得特征值，根据特征值求得特征向量；
（2）令β=mα₁+nα₂，代入求得m和n的值，根据矩阵的乘法即可求得A²⁰$\overrightarrow{β}$的值．

解答 解：（1）由题知$[\begin{array}{l}2\;\;a\\ b\;\;0\end{array}][\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}]=[\begin{array}{l}3\\ 3\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}{2+a=3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
所以A=$[\begin{array}{l}{2}&{1}\\{3}&{0}\end{array}]$．…（2分）
矩阵A的特征多项式为f（λ）=$|\begin{array}{l}{λ-2}&{-1}\\{-3}&{λ}\end{array}|$=λ（λ-2）-3=0，
所以λ₁=-1，λ₂=3，设对应的特征向量为α₁=$[\begin{array}{l}{{x}_{1}}\\{{y}_{1}}\end{array}]$，α₂=$[\begin{array}{l}{{x}_{2}}\\{{y}_{2}}\end{array}]$．
由Aα₁=λ₁α₁，Aα₂=λ₂α₂，可得3x₁+y₁=0，x₂-y₂=0，
故属于特征值λ₁=-1的一个特征向量为α₁=$[\begin{array}{l}{1}\\{-3}\end{array}]$，
属于特征值λ₂=3的一个特征向量为α₂=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$．…（8分）
（2）令β=mα₁+nα₂，则$[\begin{array}{l}{5}\\{9}\end{array}]$=m$[\begin{array}{l}{1}\\{-3}\end{array}]$+n$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，
解得m=-1，n=6． …（10分）
所以${A^{20}}β={A^{20}}（-2{α_1}+3{α_2}）=-1×（{A^{20}}{α_1}）+6×（{A^{20}}{α_2}）$，
=-1×（${λ}_{1}^{20}{α}_{1}$）+6×（${λ}_{2}^{20}$α₂），
=-1×（-1）²⁰×$[\begin{array}{l}{1}\\{-3}\end{array}]$+6×3²⁰×$[\begin{array}{l}{1}\\{2}\end{array}]$，
=$[\begin{array}{l}{2×{3}^{21}-1}\\{2×{3}^{21}+3}\end{array}]$．…（14分）

点评 本题考查矩阵的坐标变换，考查矩阵特征和特征向量的求法，矩阵的乘法，考查计算能力，属于中档题．