Question

11．设a=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（sinx+cosx）dx，则二项式（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶展开式中含x^-1项的系数是60．

Answer 1

分析 由定积分的运算求得a的值，代入求得（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶展开式${C}_{6}^{k}$（2$\sqrt{x}$）^6-k•（-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）^k=（-1）^k${C}_{6}^{k}$2^6-kx^3-k，当3-k=-1，解得k=4，代入即可求得展开式中含x^-1项的系数．

解答 解：a=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（sinx+cosx）dx=（-cosx+sinx）${丨}_{0}^{\frac{π}{2}}$
=-（cos$\frac{π}{2}$-cos0）+sin$\frac{π}{2}$-sin0=2，∴a=2，
（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶展开式为：${C}_{6}^{k}$（2$\sqrt{x}$）^6-k•（-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）^k=（-1）^k${C}_{6}^{k}$2^6-kx^3-k，
含x^-1项的系数：3-k=-1，解得：k=4，
∴展开式中含x^-1项的系数（-1）^k${C}_{6}^{k}$2^6-kx^3-k，
=（-1）⁴${C}_{6}^{2}$2²，
=60，
故答案为：60．

点评 本题考查定积分的应用，考查二项式定理，考查计算能力，属于中档题．