Question

3．已知y=f（x）为R上的连续可导的奇函数，当x＞0时f′（x）+$\frac{f（x）}{x}$＜0，则g（x）=f（x）+$\frac{2}{x}$的零点个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 0或2

Answer 1

分析 构造函数F（x）=xg（x）=xf（x）+2，则g（x）的零点即为F（x）的零点，根据导数和函数的奇偶性判断F（x）的单调性，根据F（x）的最值符号判断零点个数．

解答 解：由于函数g（x）=f（x）+$\frac{2}{x}$，可得x≠0，∴g（x）的零点与 xg（x）的零点相同，
令F（x）=xg（x）=xf（x）+2，
∴F′（x）=f（x）+xf′（x），
由于当x＞0时，f′（x）+$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{xf′（x）+f（x）}{x}＜0$，
∴F′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，
∴F（x）在（0，+∞）上为减函数，
∵f（x）是奇函数，
∴F（x）=xg（x）=xf（x）+2为偶函数．
∵$\underset{lim}{x→0+}$F（x）=$\underset{lim}{x→0+}（xf（x）+2）$=2，
∴当$\underset{lim}{x→+∞}$F（x）≥0时，F（x）无零点，当$\underset{lim}{x→+∞}$F（x）＜0时，F（x）有两个零点．
故选：D．

点评 本题考查了函数的零点与单调性，最值的关系，属于中档题．