Question

14．若（1+2x）²⁰¹⁶=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₆x²⁰¹⁶（x∈R），则$\frac{{a}_{1}}{2}$-$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$-…-$\frac{{a}_{2016}}{{2}^{2016}}$的值为（　　）

• A． -2
• B． -1
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 在所给的等式中，令x=0可得a₀=1；令x=-$\frac{1}{2}$，得：a₀-$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$-$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{2}^{2016}}$=0，从而求出$\frac{{a}_{1}}{2}$-$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$-…-$\frac{{a}_{2016}}{{2}^{2016}}$的值．

解答 解：在（1+2x）²⁰¹⁶=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₆x²⁰¹⁶中，
令x=0可得，（1+0×2）²⁰¹⁶=a₀，即a₀=1，
在（1+2x）²⁰¹⁶=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₆x²⁰¹⁶中，
令x=-$\frac{1}{2}$可得，
（1-2×$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁶=a₀-$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$-$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{2}^{2016}}$=0，
而a₀=1，
∴$\frac{{a}_{1}}{2}$-$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$-…-$\frac{{a}_{2016}}{{2}^{2016}}$=1，
故选：D．

点评 此题是个基础题．此题考查了二项展开式定理的展开使用及灵活变形求值，特别是解决二项式的系数问题时，常采取赋值法，属于中档题．