Question

9．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+3t\\ y=2-4t\end{array}$ （t为参数），它与曲线C：（y-2）²-x²=1交于A、B两点．
（1）求|AB|的长；
（2）求点P（-1，2）到线段AB中点C的距离．

Answer 1

分析 （1）写出直线l的标准参数方程，代入曲线普通方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义得出|AB|；
（2）求出C对应的参数即为P到C点的距离|PC|．

解答 解：（1）直线l的标准参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{3}{5}t}\\{y=2+\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数），
代入曲线方程并化简得7t²-30t-50=0．
设A、B对应的参数分别为t₁、t₂，
则t₁+t₂=$\frac{30}{7}$，t₁t₂=-$\frac{50}{7}$．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{10\sqrt{23}}{7}$．
（2）根据中点坐标的性质可得AB中点C对应的参数为$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}$=$\frac{15}{7}$．
∴由t的几何意义可得点P（-1，2）到线段AB中点C的距离为$\frac{15}{7}$．

点评 本题考查了参数方程的几何意义，距离计算，属于中档题．