Question

20．已知向量$\overrightarrow a$=（$\sqrt{3}$sinωx，cosωx），$\overrightarrow b$=（cosωx，-cosωx），（ω＞0），函数f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+$\frac{1}{2}$，直线x=x₁，x=x₂是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{4}$．
（1）求函数y=f（x）的单调增区间；
（2）若cosx≥$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，x∈（0，π），且f（x）-m=0有两个实根x₁，x₂，
①求实数m的取值范围；
②求sin（x₁+x₂）的值．

Answer 1

分析 （1）由向量数量积的坐标运算得到f（x），化简得到f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），由题意求得$T=\frac{π}{2}$，则ω可求，代入函数解析式，由复合函数的单调性求得函数的单调增区间；
（2）由cosx≥$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，x∈（0，π），求得x∈（0，$\frac{π}{4}$]，画出图形．
①数形结合求得m的范围；②求出y轴右侧第一个顶点的横坐标，得到x₁+x₂的值，则sin（x₁+x₂）的值可求．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a$=（$\sqrt{3}$sinωx，cosωx），$\overrightarrow b$=（cosωx，-cosωx），
∴f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx$+\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$（1+cos2ωx）$+\frac{1}{2}$
=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）．
由题意得$\frac{T}{2}=\frac{π}{4}$，得$T=\frac{π}{2}$，
又∵ω＞0，∴2ω=$\frac{2π}{\frac{π}{2}}=4$，则ω=2．
∴f（x）=sin（4x-$\frac{π}{6}$）．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，
∴f（x）单调递增区间为[$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$，$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$]，k∈Z；
（2）由cosx≥$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，x∈（0，π），得x∈（0，$\frac{π}{4}$]，
由f（x）-m=0有两个实根x₁，x₂，如图，
①由图可知，实数m的取值范围为[$\frac{1}{2}$，1）；
②由4x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，得$x=\frac{π}{6}+\frac{kπ}{4}，k∈Z$．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{π}{3}$，则sin（x₁+x₂）=$sin\frac{π}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题三角函数中的恒等变换应用，主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，是中档题．