Question

12．如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据

x	3	4	5	6
y	2.5	3.5	4	5

（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（2）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？

Answer 1

分析 （1）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数b的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出$\widehat{a}$的值，得到线性回归方程．
（2）根据上一问所求的线性回归方程，把x=100代入线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低标准煤的数量．

解答 解：（1）由对照数据，计算得$\overline{x}$=4.5，$\overline{y}$=3.5，
∴$\widehat{b}$=$\frac{3×2.5+4×3.5+5×4+6×5-4×4.5×3.5}{9+16+25+36-4×4．{5}^{2}}$=0.8
∴$\widehat{a}$=0.15，
∴所求线性回归方程为$\widehat{y}$=0.8x+0.15；
（2）由（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低
90-（0.8×100+0.15）=9.85（吨）．

点评 本题考查线性回归方程的求法和应用，本题是非常符合新课标中对于线性回归方程的要求，注意通过这个题目掌握一类问题，注意数字的运算．