Question

2．已知三条直线l₁：2x-y+a=0（a＞0），直线l₂：-4x+2y-1=0和l₃：x+y+3=0，且l₁与l₂间的距离是$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
（1）求a的值；
（2）求经过直线l₁与l₃的交点，且与点（1，3）距离为3的直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由l₁与l₂的距离是$\frac{\sqrt{5}}{2}$，代入两条平行直线间的距离公式，可得一个关于a的方程，解方程即可求a的值；
（2）求出交点坐标，设出直线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．

解答 解：（1）l₂即2x-y+$\frac{1}{2}$=0，
∴l₁与l₂的距离d=$\frac{|a-\frac{1}{2}|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴|2a-1|=5．
∵a＞0，∴a=3．
（2）直线l₁与l₃的交点，由：$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+3=0}\\{x+y+3=0}\end{array}\right.$，解得：交点坐标（-2，-1）．
当直线的斜率垂直时，设所求的直线方程为：y+1=k（x+2），即：kx-y+2k-1=0．
点（1，3）到直线的距离为3，
可得：$\frac{|k-3+2k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=3，
解得k=$\frac{7}{24}$，
所求直线方程7x-24y-10=0．
当直线的斜率不存在时，x=-2，满足题意．
所求直线方程为：x=-2或7x-24y-10=0．

点评 本题考查直线方程的求法，直线的交点坐标，平行线之间的距离的求法，考查计算能力．