Question

10．已知函数f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的图象过点P（1，2）且在x=$\frac{1}{3}$处取得极值点．
（1）求a、b的值
（2）求 函数f（x）的单调区间．
（3）求 函数 f（x）在[-1，1]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出并检验即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（3）根据函数的单调性，求出函数的在闭区间上的最值即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的图象过点P（1，2）
∴f（1）=2，∴a+b=1，
又函数f（x）在x=$\frac{1}{3}$处取得极值点，
∴f'（$\frac{1}{3}$）=0       因  f'（x）=3x²+2 ax+b∴2a+3b=-1    …（4分）
解得 a=4，b=-3，
经检验 x=$\frac{1}{3}$是f（x）极值点    …（6分）
（2）由（1）得f'（x）=3x²+8x-3，
令f'（x）＞0，得  x＜-3或 x＞$\frac{1}{3}$，
令f'（x）＜0，得-3＜x＜$\frac{1}{3}$，
函数f（x）的单调增区间为（-∞，-3），（$\frac{1}{3}$，+∞），
函数f（x）的单调减区间为（-3，$\frac{1}{3}$）                    …（8分）
（3）由（2）知，又函数f（x）在x=$\frac{1}{3}$处取得极小值点f（$\frac{1}{3}$）=$-\frac{4}{27}$f（-1）=6，f（1）=2           …（10分）
函数f（x）在[-1，1]上的最大值为6，最小值为$-\frac{4}{27}$…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．