Question

5．设函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-bx，若x=1是f（x）的极大值点，则a的取值范围为（　　）

• A． （-1，0）
• B． （-1，+∞）
• C． （0，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（0，+∞）

Answer 1

分析 求出函数的f（x）的定义域，f'（x），由f'（1）=0，得b=1-a，通过讨论a的范围，去掉函数的单调区间，结合已知条件求出a的取值范围即可．

解答 解：f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=$\frac{1}{x}$-ax-b，由f'（1）=0，得b=1-a．
所以f'（x）=$\frac{-（ax+1）（x-1）}{x}$．
①若a≥0，由f'（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．
所以x=1是f（x）的极大值点．
②若a＜0，由f'（x）=0，得x=1，或x=-$\frac{1}{a}$．
因为x=1是f（x）的极大值点，所以-$\frac{1}{a}$＞1，解得-1＜a＜0．
综合①②：a的取值范围是a＞-1．
故选：B．

点评 本题考查函数的单调性、极值等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．