Question

1．已知二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2-x）（x∈R），且该函数的图象与y轴交于点（0，3），在x轴上截得的线段长为2，则该二次函数的解析式为f（x）=x²-4x+3．

Answer 1

分析 根据函数图象的对称性可求出f（x）的零点为1，3，设f（x）=a（x-1）（x-3），把（0，3）代入解析式即可求出a，得出f（x）的解析式．

解答 解：∵f（2+x）=f（2-x），∴f（x）的对称轴为x=2，
设f（x）=0的两个零点分别为x₁，x₂，x₁＜x₂，
则x₁+x₂=4，
又f（x）图象在x轴上截得的线段长为2，
∴x₂-x₁=2，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=4}\\{{x}_{2}-{x}_{1}=2}\end{array}\right.$，得x₁=1，x₂=3，
设f（x）=a（x-1）（x-3），
∵f（x）图象与y轴交于点（0，3），
∴f（0）=3a=3，∴a=1．
∴f（x）=（x-1）（x-3）=x²-4x+3．
故答案为：f（x）=x²-4x+3．

点评 本题考查了二次函数的性质，函数解析式的求法，属于中档题．