Question

10．（1）0＜x＜$\frac{4}{3}$，求y=x（4-3x）的最大值
（2）0＜x＜2，求y=x（5-2x）²的最大值
（3）x，y＞0，且x²y=8，求2x²+y²的最小值，S=x²+4xy的最小值及相应的x，y的值．
（4）0＜x＜10，求V=3x⁴（25-$\frac{1}{4}$x²）的最大值及相应的x的值．

Answer 1

分析 （1）由二元均值不等式的变形：ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²，（a，b＞0，a=b取得等号），可得最大值；
（2）由三元均值不等式的变形：abc≤（$\frac{a+b+c}{3}$）³（a，bc＞0，且a=b=c取得等号），可得最大值；
（3）由三元均值不等式a+b+c≥3$\root{3}{abc}$（a，bc＞0，且a=b=c取得等号），可得最小值；
（4）由三元均值不等式的变形：abc≤（$\frac{a+b+c}{3}$）³（a，bc＞0，且a=b=c取得等号），可得最大值．

解答 解：（1）0＜x＜$\frac{4}{3}$，y=x（4-3x）=3x（$\frac{4}{3}$-x）≤3×（$\frac{x+\frac{4}{3}-x}{2}$）²=$\frac{4}{3}$，
当且仅当x=$\frac{4}{3}$-x，即x=$\frac{2}{3}$时，y取得最大值$\frac{4}{3}$；
（2）0＜x＜2，y=x（5-2x）²=$\frac{1}{4}$•4x•（5-2x）（5-2x）
≤$\frac{1}{4}$•（$\frac{4x+5-2x+5-2x}{3}$）³=$\frac{250}{27}$，
当且仅当4x=5-2x，即x=$\frac{5}{6}$时，函数y取得最大值$\frac{250}{27}$；
（3）x，y＞0，且x²y=8，即有x⁴y²=64，
则2x²+y²=x²+x²+y²≥3$\root{3}{{x}^{4}{y}^{2}}$=3$\root{3}{64}$=12，
当且仅当x=y=2时，取得最小值12；
S=x²+4xy=x²+2xy+2xy≥3$\root{3}{4{x}^{4}{y}^{2}}$=3$\root{3}{4×64}$=12$\root{3}{4}$，
当且仅当x=2y，即x=2$\root{3}{2}$，y=$\root{3}{2}$时，取得最小值12$\root{3}{4}$；
（4）0＜x＜10，V=3x⁴（25-$\frac{1}{4}$x²）=$\frac{3}{4}$•x²•x²•（100-x²）
=$\frac{3}{8}$•x²•x²•（200-2x²）≤$\frac{3}{8}$•（$\frac{{x}^{2}+{x}^{2}+200-2{x}^{2}}{3}$）³=$\frac{1{0}^{6}}{9}$．
当且仅当x²=200-2x²，即x=$\frac{10\sqrt{6}}{3}$时，取得最大值$\frac{1{0}^{6}}{9}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用均值不等式，正确变形和求得等号成立的条件是解题的关键，属于中档题．