Question

2．已知直线l：y=3x和点P（8，3），点Q为第一象限内的点，且在直线l上，直线PQ交x轴正半轴于点M，求△OMQ的面积S的最小值．（O为坐标原点）．

Answer 1

分析 设点Q（a，3a），a＞0，点M坐标为（b，0），b＞0，则直线PQ的斜率为$\frac{3a-3}{a-8}=\frac{-3}{b-8}$，解得b的值，求得M的坐标，表示出△OMQ的面积，利用判别式大于或等于零求出S的最小值即可．

解答 解：设点Q（a，3a），a＞0，点M坐标为（b，0），b＞0，
则直线PQ的斜率为$\frac{3a-3}{a-8}=\frac{-3}{b-8}$，解得b=$\frac{7a}{a-1}$，
∴M的坐标为（$\frac{7a}{a-1}$，0），
故△OMQ的面积S=$\frac{1}{2}$×$\frac{7a}{a-1}$×3a=$\frac{21{a}^{2}}{2a-2}$，
即21a²-2Sa+2S=0．
由题意可得方程21a²-2Sa+2S=0有解，
故判别式△=4S²-168S≥0，即S≥42，
故△OMQ的面积S的最小值等于42．

点评 本题主要考查直线的一般式方程的应用，直线的斜率公式，一元二次方程有解的条件，属于中档题．