Question

6．已知圆C的方程为x²+y²+2x-6y-6=0，O为坐标原点．
（Ⅰ）求过点M（-5，11）的圆C的切线方程；
（Ⅱ）若圆C上有两点P，Q关于直线x+my+4=0对称，并且满足$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=-7$，求m的值和直线PQ的方程；
（Ⅲ）过点N（2，3）作直线与圆C交于A，B两点，求△ABC的最大面积以及此时直线AB的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，然后分切线的斜率存在和不存在求解，当斜率不存在时直接写出切线方程，斜率存在时，设出切线方程的点斜式，化为一般式，由圆心到切线的距离等于半径求斜率，则曲线方程可求；
（Ⅱ）曲线x²+y²+2x-6y-6=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，说明曲线是圆，直线过圆心，易求m的值；设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程为y=-x+b．联立方程组，结合韦达定理，以及满足$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=-7，求得k的方程，然后求直线PQ的方程；
（Ⅲ）过点N（2，3）的弦AB分它的斜率存在、斜率不存在两种情况分别求得△ABC的面积S的值，综合可得△ABC的最大面积以及此时直线AB的斜率．

解答 解：（Ⅰ）∵圆C的方程为x²+y²+2x-6y-6=0，
即（x+1）²+（y-3）² =16，表示以C（-1，3）为圆心，半径r=4的圆．
当过点M（-5，11）的圆的切线斜率存在时，
设切线为y-11=k（x+5），即kx-y+5k+11=0．
根据圆心C（-1，3）到切线的距离等于半径4，
可得$\frac{|-k-3+5k+11|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=4，求得 k=-$\frac{3}{4}$，
故切线的方程为-$\frac{3}{4}$x-y+5•（-$\frac{3}{4}$）+11=0，即 即3x+4y-29=0．
当过点M（-5，11）的圆的切线斜率不存在时，切线的方程为x=-5．
综上可得，过点M（-5，11）的圆C的切线方程为即3x+4y-29=0 或x=-5．
（Ⅱ）由题意可得，圆心（-1，3）在直线x+my+4=0上，
∴-1+3m+4=0，求得m=-1，
即直线PQ与直线y=x+4垂直，
∴设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程为y=-x+b．
将直线y=-x+b代入圆方程，得2x²+2（4-b）x+b²-6b-6=0．
△=4（4-b）²-4×2×（b²-6b-6）＞0，得2-4$\sqrt{2}$＜b＜2+4$\sqrt{2}$．
由韦达定理得x₁+x₂=-（4-b），x₁•x₂=$\frac{{b}^{2}-6b-6}{2}$．
y₁•y₂=b²-b（x₁+x₂）+x₁•x₂=$\frac{{b}^{2}}{2}$+b-3．
∵$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=-7，∴x₁x₂+y₁y₂=-7，即b²-2b+1=0．
解得b=1∈（2-4$\sqrt{2}$，2+4$\sqrt{2}$）．
∴所求的直线方程为y=-x+1．
（Ⅲ）过点N（2，3）作直线与圆C交于A，B两点，
当AB的斜率不存在时，AB的直线方程为x=2，
此时，CN⊥AB，且CN=3，AB=2$\sqrt{{CA}^{2}{-CN}^{2}}$=2•$\sqrt{16-9}$=2$\sqrt{7}$，
△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$•AB•CN=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{7}$•3=3$\sqrt{7}$．
当AB的斜率存在时，设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y-3=k（x-2），
代入圆的方程可得（1+k²）x²+（2-4k²）x+4k²-15=0，
∴x₁+x₂=$\frac{{4k}^{2}-2}{1{+k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{{4k}^{2}-15}{1{+k}^{2}}$，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$=2$\frac{\sqrt{7{k}^{2}+16}}{1+{k}^{2}}$．
∵△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$•|CN|•|y₁-y₂|=3|k|•$\frac{\sqrt{7{k}^{2}+16}}{1+{k}^{2}}$，
令1+k²=t，（t≥1）则S²=9（-$\frac{9}{{t}^{2}}$+$\frac{2}{t}$+7），
当$\frac{1}{t}$=$\frac{1}{9}$即t=9，k=±2$\sqrt{2}$时，S²取得最大值64．
综上可得，△ABC的最大面积为8，此时直线AB的斜率为±2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查直线和圆相切的性质，用点斜式求直线的方程，两个向量的数量积的运算，直线和圆的位置关系的综合应用，属于难题．