Question

15．如图，在△ABC中，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow b$，点D在BC边上．
（ I）若D为BC边中点，求证：$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）
（ II）若$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow a$+μ$\overrightarrow b$，求证：λ+μ=1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据图形，可以得到$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$，从而$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）$，根据$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$即可得出$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$；
（Ⅱ）根据点D在BC边上，便可得出存在t使得$\overrightarrow{BD}=t\overrightarrow{BC}=t（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）$，进行向量的数乘运算即可求出$\overrightarrow{AD}=（1-t）\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$，根据平面向量基本定理即可得出$\left\{\begin{array}{l}{λ=1-t}\\{μ=t}\end{array}\right.$，从而得出λ+μ=1．

解答 证明：（I）∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow b$；
∴$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow b-\overrightarrow a$；
又D为BC边中点，∴$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}（\overrightarrow b-\overrightarrow a）$；
∴$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{a+}\frac{1}{2}（\overrightarrow b-\overrightarrow a）=\frac{1}{2}（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$；
（II）∵点D在BC边上，∴$\overrightarrow{BD}∥\overrightarrow{BC}$；
则存在实数t，使得$\overrightarrow{BD}=t\overrightarrow{BC}=t（\overrightarrow b-\overrightarrow a）$，
则$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow a+t（\overrightarrow b-\overrightarrow a）=（1-t）\overrightarrow a+t\overrightarrow b$；
若$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow a+μ\overrightarrow b$，则λ=1-t，μ=t；
∴λ+μ=（1-t）+t=1．

点评 考查向量减法、减法及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，共线向量和平面向量基本定理．