Question

10．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=-1+t\end{array}$（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=-1+t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t，得到直线l的普通方程，利用互化公式可得极坐标方程．
（Ⅱ）曲线C的极坐标方程为ρ=$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），展开可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ=$\sqrt{2}$（cosθ-sinθ）．利用互化公式可得直角坐标方程，与直线方程联立即可得出交点坐标．

解答 解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=-1+t\end{array}\right.$（t为参数），
∴消去参数t，得到直线l的普通方程x+y+1=0，
利用互化公式可得极坐标方程：ρcosθ+ρsinθ+1=0．
（Ⅱ）曲线C的极坐标方程为ρ=$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），
展开可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ=$\sqrt{2}$（cosθ-sinθ）．
即ρ²=ρcosθ-ρsinθ，∴x²+y²=x-y．
联立方程$\left\{\begin{array}{l}x+y+1=0\\{x^2}+y{\;}^2=x-y\end{array}\right.$
∴解得l与C交点的直角坐标为：（0，-1），
极坐标为（1，$\frac{3π}{2}$）．

点评 本题考查了直线的参数方程与极坐标方程、极坐标与直角坐标方程的互化公式、直线与圆的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．