Question

5．已知命题p：实数m使函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（m-1）x²-4mx+1在[1，3]上不单调，命题q：实数m满足方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示椭圆．
（1）若p∧q为真，求m的取值范围；
（2）若p∨q为真，求m的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出命题p，q为真时的m的范围，（1）根据p∧q为真，取交集即可；（2）根据p∨q为真，取并集即可．

解答 解：命题p：实数m使函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（m-1）x²-4mx+1，
f′（x）=x²-2（m-1）x-4m=0，解得：x₁=-2，x₂=2m，
∵f（x）在[1，3]不单调，
∴1＜2m＜3，
∴m∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
命题q：实数m满足方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示椭圆．
$\left\{\begin{array}{l}{m-1＞0}\\{2-m＞0}\\{m-1≠2-m}\end{array}\right.$⇒m∈（1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，2），
（1）若p∧q为真，m∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）且m∈（1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，2），
则m∈（1，$\frac{3}{2}$）；
（2）若p∨q为真，m∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）或m∈（1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，2），
则m∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，2）．

点评 本题考查了函数的单调性以及椭圆的定义，考查复合命题的判断，是一道中档题．