Question

19．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-1和x=1时取得极值，且f（-2）=4．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）在区间[-3，3]上的极值；
（3）若关于x的方程f（x）-a=0在实数集R上只有一个解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）三次函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1和x=-1时取极值，说明方程f′（x）=0的两个根为1和-1，求出a与b，再代入f（-2）=4，求出c值；
（2）由（1）求出f（x）的解析式，利用导数研究函数的单调性，求出极值；
（3）画出函数f（x）的图象，结合图象求出a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-1和x=1时取得极值，且f（-2）=4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3+2a+b=0}\\{3-2a+b=0}\\{-8+4a-2b+c=4}\end{array}\right.$，解得：a=1，b=-3，c=6，
∴f（x）=x³-3x+6；
（2）由（1）得：f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-1）递增，在（-1，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴f（x）在[-3，-1）递增，在（-1，1）递减，在（1，3]递增，
∴函数f（x）的极大值是：f（-1）=8，极小值是：f（1）=4；
（3）结合（2）画出f（x）的图象，如图示：
，
若关于x的方程f（x）-a=0在实数集R上只有一个解，
即函数y=f（x）和y=a有1个交点，
结合图象：a＜4或a＞8．

点评 此题主要考查函数在某点的极值，利用导数研究函数的单调性，以及掌握不等式的解法．这是高考必考的考点．