Question

5．在平面直角坐标系xOy中，设△ABC顶点坐标分别为A（0，a），B（-$\sqrt{5a}$，0），C（$\sqrt{5a}$，0），Q（0，b），（其中a＞0，b＞0），圆M为△ABC的外接圆．
（1）当a=9时，求圆M的方程；
（2）当a变化时，圆M是否过某一定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由；
（3）在（1）的条件下，若圆M上存在点P，满足PQ=2PO，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，求圆M的方程；
（2）由（1）圆M的方程可化为：x²+y²+5y-a（5+y）=0，要使圆M过某一定点，可得$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}+5y=0\\ y+5=0\end{array}\right.$，即可求出定点的坐标；
（3）点P在以$（0，-\frac{b}{3}）$为圆心，$\frac{2b}{3}$为半径的圆上又因为点P在圆M，所以两个圆有公共点，即可求实数b的取值范围．

解答 解：（1）设圆M的方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0．
∵$A（0，a），B（-\sqrt{5a}，0），C（\sqrt{5a}，0）$在圆M上
∴$\left\{\begin{array}{l}{a^2}+aE+F=0\\ 5a-\sqrt{5a}D+F=0\\ 5a+\sqrt{5a}D+F=0\end{array}\right.$
解得D=0，E=5-a，F=-5a
圆M的方程为：x²+y²+（5-a）y-5a=0
当a=9时，圆M的方程为：x²+y²-4y-45=0
（2）由（1）圆M的方程可化为：x²+y²+5y-a（5+y）=0…8
要使圆M过某一定点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}+5y=0\\ y+5=0\end{array}\right.$
解得x=0，y=-5，
∴圆M过定点（0，-5）…10
（3）设P的坐标（x，y），因为PQ=2PO，
所以$\sqrt{{x^2}+{{（y-b）}^2}}=2\sqrt{{x^2}+{y^2}}$，
整理得${x^2}+{y^2}+\frac{2b}{3}y-\frac{b^2}{3}=0$，${x^2}+{（y+\frac{b}{3}）^2}=\frac{{4{b^2}}}{9}$（b＞0）…12
所以点P在以$（0，-\frac{b}{3}）$为圆心，$\frac{2b}{3}$为半径的圆上
又因为点P在圆M，所以两个圆有公共点，
当a=1时，圆M的圆心为（0，2），半径为7
故有$|7-\frac{2b}{3}|≤2+\frac{b}{3}≤7+\frac{2b}{3}$，
解得5≤b≤27…16

点评 本题考查圆的方程，考查圆过定点，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．