Question

15．在△ABC中，a=3，b=2$\sqrt{6}$，∠B=2∠A．
（1）求cosA的值； 
 （2）求AB边长．

Answer 1

分析 （1）由已知利用倍角公式，正弦定理即可解得cosA的值．
（2）由余弦定理解得c的值，利用倍角公式可求cosB=$\frac{1}{3}$＞0，验根即可得解．

解答 解：（1）因为∠B=2∠A，
所以由正弦定理有$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{b}{sin2A}=\frac{b}{2sinAcosA}$，
得$cosA=\frac{b}{2a}=\frac{{2\sqrt{6}}}{2×3}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得c²-8c+15=0解得c=3或c=5，
因为∠B=2∠A，
所以$cosB=cos2A=2{cos^2}A-1=2×{（\frac{{\sqrt{6}}}{3}）^2}-1=\frac{1}{3}＞0$，
经验证AB=3不符合题意，
所以 AB=5．

点评 本题主要考查了倍角公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．