Question

5．已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）-$\frac{1}{x}$]=2，则f（$\frac{1}{6}$）的值是（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 首先，根据函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）-$\frac{1}{x}$]=2，得到f（x）-$\frac{1}{x}$为一个常数，令f（x）-$\frac{1}{x}$=n，则f（n）=2，求出n，可求出函数的解析式，即可得出结论．

解答 解：根据题意，得若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）-$\frac{1}{x}$]=2，得到f（x）-$\frac{1}{x}$为一个常数，
令f（x）-$\frac{1}{x}$=n，
则f（n）=2，
∴2-$\frac{1}{n}$=n，
∴n=1，
∴f（x）=1+$\frac{1}{x}$，
∴f（$\frac{1}{6}$）=7，
故选：C．

点评 本题考查的知识点是函数的值，函数解析式的求法，其中抽象函数解析式的求法，要注意对已知条件及未知条件的凑配思想的应用．