Question

20．4年一届的欧洲杯的关注度是仅次于世界杯的第二大足球赛事，2016年欧洲杯于2016年6月10日至7月10日在法国境内9座城市的12座球场内举行，共24支国家队参赛，比赛第一阶段是小组赛，每个小组4支国家队，组内任两只球队之间需进行一场较量，采取积分制，获胜一场3分，打平一场1分，输一场0分，每个小组根据积分取得资格进入下一阶段比赛-淘汰赛．
（1）在小组赛阶段，若东道主法国队在所处的A组中，打胜一场概率为$\frac{1}{2}$，打平一场概率为$\frac{1}{3}$，输一场概率为$\frac{1}{6}$，每场比赛输赢互不影响；那么小组赛结束后，法国队积分为3分的概率；
（2）在淘汰赛阶段，每一场比赛必分输赢，当出现平局时采用点球的方式决出胜负；若德国门将诺伊尔扑出点球的成功率为$\frac{1}{3}$，在5次点球中，求他扑出的点球个数X的分布列与期望．

Answer 1

分析 （1）利用互斥事件的概率公式求解即可；
（2）由题意，X～B（5，$\frac{1}{3}$），求出相应的概率，即可求他扑出的点球个数X的分布列与期望．

解答 解：（1）当法国队胜一场，输2场时，P=C₃¹×$\frac{1}{2}×\frac{1}{6}×\frac{1}{6}$=$\frac{1}{24}$；
当法国队打平3场时，P=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{27}$．
∴法国队积分为3分的概率=$\frac{1}{24}$+$\frac{1}{27}$=$\frac{17}{216}$；
（2）由题意，X～B（5，$\frac{1}{3}$），
P（X=0）=（$\frac{2}{3}$）⁵=$\frac{32}{243}$，
P（X=1）=C₅¹×$\frac{1}{3}$×（$\frac{2}{3}$）⁴=$\frac{80}{243}$，
P（X=2）=C₅²×（$\frac{1}{3}$）²×（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{80}{243}$，
P（X=3）=C₅³×（$\frac{1}{3}$）³×（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{40}{243}$，
P（X=4）=C₅⁴×（$\frac{1}{3}$）⁴×（$\frac{2}{3}$）=$\frac{10}{243}$，
P（X=5）=C₅⁵×（$\frac{1}{3}$）⁵=$\frac{1}{243}$，
X的分布列为

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{32}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{40}{243}$	$\frac{10}{243}$	$\frac{1}{243}$

EX=0×$\frac{32}{243}$+1×$\frac{80}{243}$+2×$\frac{80}{243}$+3×$\frac{40}{243}$+4×$\frac{10}{243}$+5×$\frac{1}{243}$=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，互斥事件概率公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．