Question

12．在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=3，AB=$\sqrt{6}$，BC=$\sqrt{3}$，AB⊥BC，E，F为PC的三等分点．
（1）求证：面PAC⊥面ABC．
（2）求：V_A-BEF．

Answer 1

分析 （1）取AC中点H，连接PH和BH，由AB⊥BC，即∠ABC=90°，得AH=CH=BH，又PA=PB=PC，可得△PAH≌△PCH≌△PBH，得到PH⊥AC，说明PH⊥面ABC，再由面面垂直的判定得答案；
（2）把V_A-BEF转化为V_B-AEF的体积，进一步转化为$\frac{1}{9}{V}_{P-ABC}$求解．

解答 证明：（1）取AC中点H，连接PH和BH，

∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴AH=CH=BH，又PA=PB=PC，
∴△PAH≌△PCH≌△PBH，
在△PAC中PH⊥AC，
∴PH⊥面ABC，
又PH?面PAC，面PAC⊥面ABC；
解：（2）△ABC中$AB=\sqrt{6}，BC=\sqrt{3}$，则AC=3，高$h=\frac{{\sqrt{6}•\sqrt{3}}}{3}=\sqrt{2}$，
∴V_A-BEF=${V_{B-AEF}}=\frac{1}{3}{S_{△AEF}}•h=\frac{1}{9}{S_{△PAC}}•h$=$\frac{1}{9}×\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{3^2}×\sqrt{2}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查利用等积法求多面体的体积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．