Question

6．设数列{a_n}为等比数列，则下面四个数列：①{a_n³}；②{pa_n}（p为非零常数）；③{a_n•a_n+1}；④{a_n+a_n+1}．其中是等比数列的序号为①②③．（填上所有正确的序号）

Answer 1

分析 由：{a_n}为等比数列，可得出$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=q（q≠0）（n＞1），利用等比数列的定义，求出下列数列的后一项与前一项的比值，由比值确定是否为等比数列．

解答 解：{a_n}为等比数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=q（q≠0）（n＞1），
①（$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$）³=q³，
∴{a_n³}是公比为q³的等比数列；
②p$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=pq，
∴{pa_n}（p为非零常数）是以pq为公比的等比数列；
③$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=q²，
∴{a_n•a_n+1}是以q²为公比的等比数列；
④若原数列公比q=-1，则a_n+a_n+1=0，不是等比数列，故错误；$\frac{{a}_{n}{+a}_{n+1}}{{a}_{n-1}+{a}_{n}}$=q，
∴{a_n+a_n+1}是以公比为q为公比的等比数列．
故答案为①②③．

点评 考查了等比数列的定义和判断方法，属于基础题型，应熟练掌握．