Question

9．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+bx为奇函数，且在x=4处取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）在[-5，6]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性求出a的值，根据f′（4）=0，求出b的值即可；（2）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的值域即可．

解答 解：（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴a=0，
∴$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+bx$
∴f'（x）=x²+b，
由题意得：f'（4）=16+b=0，
∴b=-16；
（2）∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-16x$
∴f'（x）=x²-16

x	-5	（-5，-4）	-4	（-4，4）	4	（4，6）	$y=（{2-\frac{2}{e-1}}）x-2-2ln（e-1）$
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	$\frac{115}{3}$	单调递增	$\frac{128}{3}$	单调递减	$-\frac{128}{3}$	单调递增	-24

∴$f{（x）_{max}}=f（-4）=\frac{128}{3}$，$f{（x）_{min}}=f（4）=-\frac{128}{3}$，
所以，f（x）的值域为$[{-\frac{128}{3}，\frac{128}{3}}]$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．