Question

10．已知x+x^-1=3，求$\frac{{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}}{{x}^{2}+{x}^{-2}+3}$的值．

Answer 1

分析 由x+x^-1=3，可得${x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{x+{x}^{-1}+2}$，x²+x^-2=（x+x^-1）²-2．代入即可得出．

解答 解：∵x+x^-1=3，
∴${x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{x+{x}^{-1}+2}$=$\sqrt{5}$，
x²+x^-2=（x+x^-1）²-2=3²-2=7．
∴$\frac{{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}}{{x}^{2}+{x}^{-2}+3}$=$\frac{\sqrt{5}}{7+3}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$．

点评 本题考查了乘法公式、指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．