Question

1．关于x的二次函数，f（x）=x²-ax+1，x∈[0，1]．
（1）求该函数在定义域上的最小值g（a）的解析式；
（2）若该函数最小值为$\frac{1}{2}$，求a值．

Answer 1

分析 （1）求出二次函数的对称轴方程，然后分类得到函数在[0，1]上的单调性，由单调性求得最小值；
（2）直接分类由最小值为$\frac{1}{2}$解得a的值．

解答 解：（1）函数f（x）=x²-ax+1的对称轴方程为x=$\frac{a}{2}$，
当$\frac{a}{2}≤0$，即a≤0时，g（a）=f（0）=1．
当$\frac{a}{2}≥1$，即a≥2时，g（a）=f（1）=2-a．
当0$＜\frac{a}{2}＜1$，即0＜a＜2时，g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$．
∴$g（a）=\left\{\begin{array}{l}{1，a≤0}\\{1-\frac{{a}^{2}}{4}，0＜a＜2}\\{2-a，a≥2}\end{array}\right.$；
（2）由$1-\frac{{a}^{2}}{4}=\frac{1}{2}$，解得：a=$±\sqrt{2}$，∵0＜a＜2，∴a=$\sqrt{2}$．
由2-a=$\frac{1}{2}$，解得a=$\frac{3}{2}$（舍）．
∴若该函数最小值为$\frac{1}{2}$，则a=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，是基础题．