Question

11．已知△ABC中，a，b，c是三个内角A，B，C的对边，关于x的不等式${x^2}cosC+4x\sqrt{1-{{cos}^2}C}+6＜0$的解集是空集．
（1）求角C的最大值；
（2）若$c=\frac{7}{2}$，△ABC的面积$S=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，求当角C取最大值时a+b的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$△=（4\sqrt{1-co{s}^{2}C}）^{2}-24cosC≤0$，解得cosC$≥\frac{1}{2}$，从而解得C的最大值．
（2）由题意：$S=\frac{3}{2}\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}absin\frac{π}{3}$，得ab=6，由余弦定理得：${（a+b）^2}=\frac{121}{4}$，即可得解a+b的值．

解答 解：（1）∵${x^2}cosC+4x\sqrt{1-{{cos}^2}C}+6＜0$的解集是空集．
∴$△=（4\sqrt{1-co{s}^{2}C}）^{2}-24cosC≤0$，
即2cos²C+3cosC-2≥0，
即（cosC+2）（2cosC-1）≥0，
∴cosC$≥\frac{1}{2}$，…..（4分）
所以0＜C$≤\frac{π}{3}$，…..（5分）
即C的最大值为$\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）∵$S=\frac{3}{2}\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}absin\frac{π}{3}$，…（7分）
∴得ab=6，…（8分）
由余弦定理得：$\frac{49}{4}={a^2}+{b^2}-ab$，从而得　${（a+b）^2}=\frac{121}{4}$，
则　$a+b=\frac{11}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了不等式的解法及应用，考查了三角形面积公式及余弦定理的综合应用，属于基本知识的考查．