Question

19．已知函数f（x）=-x²+2ax+1．
（1）若y=f（x）在（1，+∞）上单调递减，求a的取值范围．
（2）若a=1时，y=f（x）在区间[m，n]上的值域为[2m，2n]，求m，n的值．
（3）记h（a）为y=f（x）在区间[-4，4]的最小值，求出y=h（a）

Answer 1

分析 函数f（x）=-x²+2ax+1的图象是开口朝下，且以直线x=a为对称轴的抛物线；
（1）若y=f（x）在（1，+∞）上单调递减，则a≤1；
（2）若a=1时，y=f（x）在区间[m，n]上的值域为[2m，2n]，则m，n为方程f（x）=-x²+2x+1=2x，即-x²+1=0的两根，解得m，n的值．
（3）分段讨论，y=f（x）在区间[-4，4]的最小值h（a）的表达式，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：函数f（x）=-x²+2ax+1的图象是开口朝下，且以直线x=a为对称轴的抛物线；
（1）若y=f（x）在（1，+∞）上单调递减，
则a≤1；
（2）若a=1时，y=f（x）在区间[m，n]上的值域为[2m，2n]，
由函数在x=1时，取最大值2，
故2m＜2n≤2，
即m＜n≤1，
故函数y=f（x）在区间[m，n]上为增函数，
即$\left\{\begin{array}{l}f（m）=2m\\ f（n）=2n\end{array}\right.$，
即m，n为方程f（x）=-x²+2x+1=2x，即-x²+1=0的两根，
解得：m=-1，n=1，
（3）当a≤-4时，函数y=f（x）在区间[-4，4]为减函数，
此时h（a）=f（4）=8a-15；
当-4＜a＜4时，函数y=f（x）在区间[-4，a]为增函数，[a，4]为减函数，
此时h（a）=f（a）=a²+1；
当a≥4时，函数y=f（x）在区间[-4，4]为增函数，
此时h（a）=f（-4）=-8a-15；
综上所述：h（a）=$\left\{\begin{array}{l}8a-15，a≤-4\\{a}^{2}+1，-4＜a＜4\\-8a-15，a≥4\end{array}\right.$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．