Question

4．求证：函数f（x）=1og₂$\frac{x}{1-x}$在（0，1）上是增函数．

Answer 1

分析 根据单调性的定义，（0，1）内设任意的x₁＜x₂，然后作差，进行对数的运算，可以得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=lo{g}_{2}\frac{{x}_{1}（1-{x}_{2}）}{{x}_{2}（1-{x}_{1}）}$，容易说明$0＜\frac{{x}_{1}（1-{x}_{2}）}{{x}_{2}（1-{x}_{1}）}＜1$，从而可以证明出f（x₁）＜f（x₂），从而得出函数f（x）在（0，1）上是增函数．

解答 证明：设x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=lo{g}_{2}\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}-lo{g}_{2}\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$=$lo{g}_{2}\frac{{x}_{1}（1-{x}_{2}）}{{x}_{2}（1-{x}_{1}）}$；
∵x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂；
∴$0＜\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}＜1$，0＜1-x₂＜1-x₁＜1，$0＜\frac{1-{x}_{2}}{1-{x}_{1}}＜1$；
∴$0＜\frac{{x}_{1}（1-{x}_{2}）}{{x}_{2}（1-{x}_{1}）}＜1$；
∴$lo{g}_{2}\frac{{x}_{1}（1-{x}_{2}）}{{x}_{2}（1-{x}_{1}）}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（0，1）上是增函数．

点评 考查增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，对数的运算，不等式的性质，以及对数函数的单调性．