精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
某市现有自市中心O通往正西和东北方向的两条主要公路,为了解决交通拥挤问题,市政府决定修一条环城路,分别在通往正西和东北方向的公路上选取A、B两点,使环城公路在A、B间为线段,要求AB环城路段与中心O的距离为10 km,且使A、B间的距离|AB|最小,请你确定A、B两点的最佳位置(不要求作近似计算)
【答案】分析:先以O为原点,正东方向为x轴的正半轴,正北方向为y轴的正半轴,建立直角坐标系.设A(-a,0)、B(b,b),则可得直线AB的方程,再根据点到直线的距离公式可得a2b2=100(a2+2b2+2ab),进而求得ab的范围,再根据两点间的距离求得|AB|=,进而可得|AB|的范围及最小值.当|AB|取最小值时可求得a,b的值,进而求出|OA|和|OB|,确定A,B的位置.
解答:解:以O为原点,正东方向为x轴的正半轴,正北方向为y轴的正半轴,建立如下图所示的坐标系.
设A(-a,0)、B(b,b)(其中a>0,b>0),
则AB的方程为y=
即bx-(a+b)y+ab=0.
∴a2b2=100(a2+2b2+2ab)≥100(2+2ab)
=200(1+)ab.
∵ab>0,
∴ab≥200(+1).
当且仅当“a2=2b2”时等号成立,
而|AB|==
∴|AB|≥20(+1).
当a2=2b2
ab=10
时,|AB|取最小值,
即a=10
b=10
此时|OA|=a=10
|OB|=10
∴A、B两点的最佳位置是离市中心O均为10km处.
点评:本题主要考查了平面几何的性质在实际中的应用.要熟练掌握点与直线、直线与直线、直线与曲线的关系.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

某市现有自市中心O通往正西和东北方向的两条主要公路,为了解决交通拥挤问题,市政府决定修一条环城路,分别在通往正西和东北方向的公路上选取A、B两点,使环城公路在A、B间为线段,要求AB环城路段与中心O的距离为10 km,且使A、B间的距离|AB|最小,请你确定A、B两点的最佳位置(不要求作近似计算)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图某市现有自市中心O通往正西和北偏东30°方向的两条主要公路,为了解决该市交通拥挤问题,市政府决定修建一条环城公路.分别在通往正西和北偏东30°方向的公路上选用A、B两点,使环城公路在A、B间为直线段,要求AB路段与市中心O的距离为10km,且使A、B间的距离|AB|最小.请你确定A、B两点的最佳位置.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011-2012学年广东省高三上学期11月月考文科数学 题型:解答题

(本小题满分12分)

如图某市现有自市中心O通往正西和北偏东30°方向的两条主要公路,为了解决该市交通拥挤问题,市政府决定修建一条环城公路.分别在通往正西和北偏东30°方向的公路上选用A、B两点,使环城公路在A、B间为直线段,要求AB路段与市中心O的距离为10 km,且使A、B间的距离|AB|最小.请你确定A、B两点的最佳位置.

 

 

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图所示,某市现有自市中心O通往正西和东北方向的两条主要公路.为了解决该市交通拥挤问题,市政府决定修建一条环城公路,分别在通往正西和东北方向的公路上任取A、B两点,使环城公路在A、B间为直线段.要求AB路段与市中心O的距离为10 km,且使A、B间的距离|AB|最小,请你确定A、B两点的最佳位置(不要求作近似计算).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

某市现有自市中心O通往正西和东北方向的两条主要公路,为了解决交通拥挤问题,市政府决定修一条环城路,分别在通往正西和东北方向的公路上选取A、B两点,使环城公路在A、B间为线段,要求AB环城路段与中心O的距离为10 km,且使A、B间的距离|AB|最小,请你确定A、B两点的最佳位置(不要求作近似计算).

查看答案和解析>>

同步练习册答案