Question

已知函数f（x）=ax+lnx，x∈（1，e）．
（1）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范围；
（2）若方程f（x）=-

1

2

有两个不等实根，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）将恒成立问题化为最值问题，求导后求最值；（2）方程的根转化为函数图象的交点．

解答： 解：（1）∵ax+lnx≤0，x∈（1，e）；
∴a≤-

lnx

x

，
令g（x）=-

lnx

x

，则g′（x）=

- 1 x •x+lnx

x2

=

lnx-1

x2

，
∵x∈（1，e），∴g′（x）＜0；
∴g（x）在（1，e）上是减函数，
∴a＜-

1

e

．
（2）由题意，ax+lnx=-

1

2

；
则方程f（x）=-

1

2

有两个不等实根可化为函数y=-ax-

1

2

的图象与函数y=lnx的图象有两个交点，
由k₁=

0+ 1 2

1-0

=

1

2

，k₂=

1+ 1 2

e-0

=

3

2e

＞

1

2

，
又由

lnx+ 1 2

x

=

1

x

，则k3=

1

e

；
则

3

2e

＜-a＜

1

e

，
则-

1

e

＜a＜-

3

2e

．

点评：本题考查了函数的导数综合应用，恒成立要转化为最值问题．