Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的左右两个焦点分别为F₁、F₂，右顶点为A，上顶点为B，P为椭圆第一象限内一点．
（1）若S△PF1F2=S△PAF2，求椭圆的离心率；
（2）若S△PF1F2=S△PBF1，求直线PF₁斜率．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据S△PF1F2=S△PAF2，得

1

2

|F1F2||PF2|sin∠PF2F1=

1

2

|AF2||PF2|sin(180°-∠PF2F1)，这样即可得到2c=a-c，所以便能求出离心率e=

c

a

；
（2）设直线PF₁的斜率为k，可以写出PF₁的方程，由已知条件知B到PF₁的距离等于F₂到PF₁的距离，根据点到直线的距离公式，即可建立关于k的方程，解方程即可求出k．

解答： 解：（1）如图，∵S△PF1F2=S△PAF2，

1

2

|F1F2||PF2|sin∠PF2F1═

1

2

|AF2||PF2|sin(180°-∠PF2F1)；
∴|F₁F₂|=|AF₂|，2c=a-c，3c=a，∴

c

a

=

1

3

，即椭圆的离心率为

1

3

．
（2）设PF₁的斜率为k，F₁（-c，0），则直线PF₁的方程为：y=k（x+c），B（0，b），F₂（c，0）；
∵S△PF1F2=S△PBF1，点B到PF₁的距离等于点F₂到PF₁的距离，即：

|-b+kc|

k2+1

=

|2kc|

k2 +1

，∵P在第一象限，∴解得k=

b

3c

=

b

3 a2-b2

；
即直线PF₁的斜率为：

b

3 a2-b2

．

点评：考查椭圆的标准方程，椭圆的顶点及焦点，三角形面积公式，点到直线的距离公式．