Question

设A，B是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的右顶点和上顶点，F₁是它的左焦点，过F₁作PF₁⊥x轴，与椭圆在x轴上方的交点为P，OP∥AB．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若AB=

3

，求该椭圆方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）如图所示，由PF₁⊥x轴，可得P(-c，

b2

a

)．由于OP∥AB，可得k_OP=k_AB．再利用椭圆的离心率计算公式即可得出．
（2）由|AB|=

3

，可得

a2+b2

=

3

，与b=c=1，a²=b²+c²联立解出即可．

解答： 解：（1）如图所示，
∵F₁（-c，0），PF₁⊥x轴，
∴P(-c，

b2

a

)．
∵OP∥AB，∴k_OP=k_AB．
∴

b2 a

-c

=

b

-a

，解得b=c．
∴a=

2

c．
∴椭圆的离心率e=

c

a

=

2

2

．
（2）∵|AB|=

3

，∴

a2+b2

=

3

，即a²+b²=3．
联立

a2+b2=3 b=c a2=b2+c2

，
解得b=c=1，a²=2．
∴椭圆的方程为：

x2

2

+y2=1．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、平行线与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．