Question

已知数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，数列{S_n+1}是公比为2的等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{S_n}中是否存在不同的三项S_m，S_n，S_k，使得S_m，S_n，S_k为等差数列？若存在，请求出满足条件的一组m，n，k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）S₁=a₁=1，S₁+1=a₁+1=2．
因为数列{S_n+1}是公比为2的等比数列，所以Sn+1=(S1+1)•2n-1=2•2n-1=2n．
故Sn=2n-1．…（3分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-2n-1=2n-1，
当n=1时，经检验，an=2n-1也成立，
故an=2n-1．…（6分）
（Ⅱ）数列{S_n}中不存在不同的三项S_m，S_n，S_k，使得S_m，S_n，S_k为等差数列．…（7分）
理由如下：假设{S_n}中存在等差数列S_m，S_n，S_k，不失一般性，不妨设S_m＜S_n＜S_k，即m＜n＜k，
则2S_n=S_m+S_k，…（9分）
由（I），Sn=2n-1，Sm=2m-1，Sk=2k-1．
故2•2ⁿ-2=2^m-1+2^k-1，即2ⁿ⁺¹=2^m+2^k，即2^n+1-m=1+2^k-m，
由m＜n＜k知，上式左边为偶数，右边为奇数，不可能相等．…（11分）
故假设错误，从而数列{S_n}中不存在不同的三项S_m，S_n，S_k，使得S_m，S_n，S_k为等差数列．…（12分）