Question

（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点为，、是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于、的动点，且面积的最大值为12．

（1）求椭圆的方程；

（2）求证：当点在椭圆上运动时，直线与圆恒有两个交点，并求直线被圆所截得的弦长的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）设椭圆的方程为（），由面积的最大值为，可得，联立，解得即可得到椭圆的标准方程为；（2）由于点是椭圆上的动点，可得，圆心到直线的距离

（），即可证明直线与圆恒有两个交点，利用弦长公式可得，即可得到的取值范围.

试题解析：（1）设椭圆的方程为（），由已知得①，

2分

∵为椭圆右焦点，∴②， 4分

由①②可得，，∴椭圆的方程为； 5分

（2）∵是椭圆上的动点，∴，∴，

∴圆心到直线的距离

（），

∴直线与圆恒有两个交点， 8分

， 10分

∵，∴，

∴. 12分

考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与圆相交；3.弦长公式.