Question

10．已知函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），f（8）=3，对任意正数x₁，x₂，都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），猜想y=f（x）的表达式为（　　）

• A． f（x）=2^x
• B． $f（x）=\frac{3}{8}x$
• C． f（x）=log₂x
• D． f（x）=3

Answer 1

分析 对各选项进行验证得出答案．

解答 解：对于A，f（8）=2⁸≠3，故A不正确；
对于B，f（x₁x₂）=$\frac{3{x}_{1}{x}_{2}}{8}$，而f（x₁）+f（x₂）=$\frac{3{x}_{1}}{8}$+$\frac{3{x}_{2}}{8}$=$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{8}$，
与对任意正数x₁，x₂，都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），矛盾，故B不正确；
对于C，f（x）的定义域为（0，+∞），f（8）=log₂8=3，
f（x₁x₂）=log₂（x₁x₂），而f（x₁）+f（x₂）=log₂x₁+log₂x₂=log₂（x₁x₂），
∴f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），故C正确；
对于D，f（x₁x₂）=3，f（x₁）+f（x₂）=3+3=6．故D不正确；
故选C．

点评 本题考查了基本初等函数的性质，属于基础题．