Question

【题目】圆周上分布着2014个点,将其任意染成红、黄两色.若从某一点开始,依任一方向绕圆周运动到任一位置,所经过的点(含自身)红点个数恒大于黄点个数,则称该点为“优点”.为确保圆周上至少有一个优点,求圆周上黄点个数的最大值.

Answer 1

【答案】671

【解析】

优点一定为红点.

首先考虑简单情形.

当圆周上分别有1、2、3、4、5,6、7个点时,若圆周上至少有一个优点,则圆周上黄点个数最大值分别为0、0、0、1、1、1、2.

由此,得到一般性结论：圆周上有个点,将其任意染成红、黄两色.当且仅当黄点个数不大于时,才能保证圆周上至少有一个优点存在.

接下来用数学归纳法给出证明.当时,圆周上有四个点(一个黄点三个红点),在三个相连的红点中取居中的那个,易知,其为优点.故时命题成立.

假设当时,命题成立,即圆周上有个点,分别染成红、黄两色,为确保圆周上至少有一个优点,则黄点个数不超过.

当时,在个黄点中任取一个,记为.在两旁分别取与最近的红点,分别记为.将此三点从圆周上拿走,则在圆周上只剩下个点,且满足时命题成立的条件.

由归纳假设,知圆周上至少存在一个优点,记为.再把三点放回原位置.

下面证明：点仍为优点.

因为为红点,所以,点必在弧外.因此,从点出发到弧()上任一位置,红点个数与黄点个数之差至少大于1,到点时至少大于0.故仍为优点.

从而,当时,命题成立.

另一方面,在个点中,若黄点个数为,将圆周分成段,将个红色点放入每一段弧中,每段弧中至多两个点,则每个红点均不可能为优点.

因此,圆周上黄点个数的最大值为.

又,则圆周上黄点个数的最大值为671.