Question

已知：函数f（x）满足f（1）=1，f（2）=4
（1）符合上述条件的函数f（x）有多少个？
（2）写出三个符合上述条件的函数；
（3）是否存在满足上述条件的形式为的函数？如果存在，求出这样的函数，并求出该函数的值域；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）函数f（x）上只知道两点，故函数不能确定，符合上述条件的函数f（x）有无数个；
（2）若f（x）为一次函数，可由两点式直接写出直线方程即f（x）=3x-2，
若f（x）为二次方程，设f（x）=ax²+bx+c，由条件，
得3a+b=3，a、b取一些特值即可．如：f（x）=x²，f（x）=2x²-3x+2等．
（3）假设存在，则，解得，故
令，则x=，则原函数变为y=
当时，函数有最小值
所以函数的值域为[，+∞）
分析：（1）函数f（x）上只知道两点，故函数不能确定，显然有无数多个．
（2）可举比较熟悉的函数，如一次函数、二次函数等，用待定系数法求解．
（3）假设满足条件的函数存在，代入f（1）=1，f（2）=4可得关于a和b的方程，求解即可．
点评：本题考查待定系数法求解析式、函数的值域问题的求解，考查换元法解题．