Question

已知向量

α

=(

3

sinωx，cosωx），

β

=(cosωx，cosωx)，记函数f（x）=

α

•

β

，已知f（x）的周期为π．
（1）求正数ω之值；
（2）当x表示△ABC的内角B的度数，且△ABC三内角A、B、C满sin²B=sinA•sinC，试求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由题设条件

α

=(

3

sinωx，cosωx），

β

=(cosωx，cosωx)，记函数f（x）=

α

•

β

，得到f(x)=

3?

sinωxcosωx+cos 2ωx，进行恒等变形，得到f（x）=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

，再由函数的周期公式求出正数ω之值；
（2）且△ABC三内角A、B、C满sin²B=sinA•sinC，得出b²=ac，结合余弦定理求出cosB的取值范围，即得函数的定义域，再求f（x）的值域

解答：解：（1）f(x)=

3

sinωxcosωx+cos 2ωx=

3

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

，
因为T=π=

2π

2ω

得ω=1．
（2）由（1）得f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

，由sin²B=sinA•sinC得b²=ac
又b²=a²+c²-2accosB，∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，∴0＜B≤

π

3

，即o＜x≤

π

3

，∴

π

6

＜2x+

π

6

≤

5π

6

，∴f(x)∈[1，

3

2

]．

点评：本题考查余弦定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角恒等变换公式以及三角函数周期公式，余弦定理，本题是三角函数在高考中的经典题型，综合考查了三角函数中的多个知识点，综合性强，考查了恒等变形的能力，转化的能力，及计算能力