Question

18．已知圆C：x²+y²+Dx+Ex+3=0关于直线x+y-1=0对称，圆心在第二象限，半径为$\sqrt{2}$．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点A（3，5）向圆C引切线，求切线的长．

Answer 1

分析 （1）根据题意，求得圆心C（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$）在x+y-1=0上，且半径r=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{D}^{2}+{E}^{2}-12}$=$\sqrt{2}$．联解得D、E的值，即可得到圆C的标准方程；
（2）求出|AC|的长度，进行计算即可．

解答 解：（1）将圆C化成标准方程，得（x+$\frac{D}{2}$）²+（y+$\frac{E}{2}$）²=$\frac{1}{4}$（D²+E²-12）
∴圆C的圆心坐标为（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$），半径r=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{D}^{2}+{E}^{2}-12}$
∵圆C关于直线x+y-1=0对称，半径为$\sqrt{2}$．
∴-$\frac{D}{2}$-$\frac{E}{2}$-1=0且$\frac{1}{2}$$\sqrt{{D}^{2}+{E}^{2}-12}$=$\sqrt{2}$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}{D=2}\\{E=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{D=-4}\\{E=2}\end{array}\right.$
结合圆心C在第二象限，得C的坐标为（-1，2），（舍去C（1，-2））
∴圆C的方程是（x+1）²+（y-2）²=2．
（2）∵C（-1，2），
∴|AC|=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴切线长为$\sqrt{|AC{|}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-2}$=$\sqrt{23}$．

点评 本题主要考查圆的标准方程的求解，根据圆的对称性是解决本题的关键．