Question

【题目】已知圆M：x2+y2+2y﹣7=0和点N（0，1），动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B、C在曲线E上，若直线AB、AC的斜率k1 ， k2 ， 满足k1k2=4，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：圆M：x2+y2+2y﹣7=0的圆心为M（0，﹣1），半径为

点N（0，1）在圆M内，因为动圆P经过点N且与圆M相切，

所以动圆P与圆M内切．设动圆P半径为r，则 ﹣r=|PM|．

因为动圆P经过点N，所以r=|PN|， ＞|MN|，

所以曲线E是M，N为焦点，长轴长为 的椭圆．

由 ，得b2=2﹣1=1，

所以曲线E的方程为

（2）解：直线BC斜率为0时，不合题意

设B（x1，y1），C（x2，y2），直线BC：x=ty+m，

联立方程组 得 （1+2t2）y2+4mty+2m2﹣2=0，

又k1k2=4，知y1y2=4（x1﹣1）（x2﹣1）=4（ty1+m﹣1）（ty2+m﹣1）

= ．

代入得

又m≠1，化简得（m+1）（1﹣4t2）=2（﹣4mt2）+2（m﹣1）（1+2t2），

解得m=3，故直线BC过定点（3，0）

由△＞0，解得t2＞4， =

（当且仅当 时取等号）．

综上，△ABC面积的最大值为

【解析】（1）利用圆与圆的位置关系，得出曲线E是M，N为焦点，长轴长为 的椭圆，即可求曲线E的方程；（2）联立方程组 得 （1+2t2）y2+4mty+2m2﹣2=0，利用韦达定理，结合k1k2=4，得出直线BC过定点（3，0），表示出面积，即可求△ABC面积的最大值．