Question

设O为坐标原点，F₁，F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，若在椭圆上存在点P满足∠F₁PF₂=

π

3

，且|OP|=

3

2

a，则该椭圆的离心率为（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  1

  4

• C、

  3 -1

  2

• D、

  2

  2

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：要求椭圆的离心率，即要求a，c的关系，首先由定义和余弦定理得到一个关系，再由中线长公式得到一个关系，联立可得．

解答： 解：设|PF₁|=x，|PF₂|=y，则x+y=2a；①
由余弦定理 cos∠F₁PF₂=

x2+y2-4c2

2xy

=

1

2

，
∴x²+y²-xy=4c²；②
∵中线长公式OP²=

1

4

（PF₁²+PF₂²+2

PF1

•

.

PF2

）
∴

3a2

4

=

1

4

（x²+y²+2xycos∠F₁PF₂），
∴x²+y²=3a²-xy；③
∴①②③联立代换掉x，y得：a²=4c²；
∴e=

c

a

=

1

2

．
故选：A．

点评：本题主要考查椭圆的定义，余弦定理及中线长公式，考查学生的计算能力，属于中档题．