Question

1．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0且??＞0，0＜ϕ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象，如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）若方程f（x）=a在（0，$\frac{5π}{3}$）上有两个不同的实根，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由图象得出函数f（x）的周期T，振幅A，计算ω的值，再求出φ的值即得f（x）；
（2）由正弦函数的图象与性质，即可求出f（x）的单调递增区间；
（3）把问题化为y=f（x）与y=a的图象在（0，$\frac{5π}{3}$）上有两个交点问题，利用函数的图象即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）由图象易知函数f（x）的周期为
T=4×（$\frac{7π}{6}$-$\frac{2π}{3}$）=2π，
A=1，
所以ω=1；
由图象知f（x）过点$（\frac{7π}{6}，1）$，
则$sin（\frac{7π}{6}+ϕ）=-1$，
∴$\frac{7π}{6}+ϕ=\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z$，
解得$ϕ=\frac{π}{3}+2kπ，k∈Z$；
又∵$ϕ∈（0，\frac{π}{2}）$，∴ϕ=$\frac{π}{3}$，
∴$f（x）=sin（x+\frac{π}{3}）$；…4分
（2）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，
得$-\frac{5π}{6}+2kπ≤x≤\frac{π}{6}+2kπ，k∈Z$，
∴f（x）的单调递增区间为[-$\frac{5π}{6}$+2kπ，$\frac{π}{6}$+2kπ]，k∈Z；…8分
（3）方程f（x）=a在（0，$\frac{5π}{3}$）上有两个不同的实根，
等价于y=f（x）与y=a的图象在（0，$\frac{5π}{3}$）上有两个交点，
在图中作y=a的图象，如图所示；
由函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）在（0，$\frac{5π}{3}$）上的图象知，
当x=0时，f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当x=$\frac{5π}{3}$时，f（x）=0，
由图中可以看出有两个交点时，a∈（-1，0）∪（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．…12分

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了方程与函数的应用问题，是综合性题目．