Question

16．已知函数f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x-1，x∈R．
（Ⅰ）若函数h（x）=f（x+t）的图象关于点（-$\frac{π}{6}$，0）对称，且t∈（0，π），求t的值；
（Ⅱ）设A=[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，B={x||f（x）-m|＜3}，若A⊆B，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，根据函数h（x）=f（x+t）的图象关于点（-$\frac{π}{6}$，0）对称，即2sin（-$\frac{π}{3}$+2t-$\frac{π}{3}$）=0，结合t∈（0，π），求出t的值；
（Ⅱ）由|f（x）-m|＜3得出m的表达式，根据A⊆B，得出$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$时，[f（x）-3]_max＜m＜[f（x）+3]_min，
再根据x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]时，f（x）_max与f（x）_min，即可求出m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x-1
=2•$\frac{1-cos2（\frac{π}{4}+x）}{2}$-$\sqrt{3}$cos2x-1
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），x∈R；
∴函数h（x）=f（x+t）=2sin（2x+2t-$\frac{π}{3}$），
其图象关于点（-$\frac{π}{6}$，0）对称，
∴2sin（-$\frac{π}{3}$+2t-$\frac{π}{3}$）=0，
∴2t-$\frac{2π}{3}$=kπ，k∈Z，
∴t=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
又t∈（0，π），
∴t=$\frac{π}{3}$或t=$\frac{5π}{6}$；
（Ⅱ）由|f（x）-m|＜3得：
-3＜f（x）-m＜3，
即f（x）-3＜m＜f（x）+3，
∵A⊆B，
∴当$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$时，f（x）-3＜x＜f（x）+3恒成立；
∴[f（x）-3]_max＜m＜[f（x）+3]_min，
又x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]时，2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴f（x）_max=f（$\frac{π}{2}$）=2，f（x）_min=f（$\frac{π}{6}$）=1；
∴-1＜m＜4，
即m∈（-1，4）．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换问题，也考查了正弦函数的图象与性质以及子集的应用问题，是综合性题目．