Question

11．α为第三象限角，cos2α=-$\frac{3}{5}$，则sin2α=$\frac{4}{5}$，tan（$\frac{π}{4}$+2α）=$-\frac{1}{7}$，在以sin2α为首项，tan（$\frac{π}{4}$+2α）为公差的等差数列{a_n}中，其前n项和达到最大时n=6．

Answer 1

分析 由已知利用倍角公式可求cos²α，sin²α的值，结合α为第三象限角，利用倍角公式可求sin2α，进而利用同角三角函数基本关系式可求tan2α，利用两角和的正切函数公式可求tan（$\frac{π}{4}$+2α）的值，
利用等差数列的求和公式，二次函数的图象和性质可求前n项和达到最大时n的值．

解答 解：∵cos2α=2cos²α-1=1-2sin²α=-$\frac{3}{5}$，
∴解得：cos²α=$\frac{1}{5}$，sin²α=$\frac{4}{5}$，
∵α为第三象限角，
∴sin2α=2sinαcosα=2$\sqrt{si{n}^{2}αco{s}^{2}α}$=2×$\sqrt{\frac{1}{5}}$×$\sqrt{\frac{4}{5}}$=$\frac{4}{5}$，
∴tan2α=$\frac{sin2α}{cos2α}$=$\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}$=-$\frac{4}{3}$，
∴tan（$\frac{π}{4}$+2α）=$\frac{1+tan2α}{1-tan2α}$=$\frac{1+（-\frac{4}{3}）}{1-（-\frac{4}{3}）}$=$-\frac{1}{7}$，
∵在以sin2α为首项，tan（$\frac{π}{4}$+2α）为公差的等差数列{a_n}中，其前n项和S=$\frac{4n}{5}$+$\frac{n（n-1）}{2}$×（$-\frac{1}{7}$）=$\frac{61n-5{n}^{2}}{70}$=$\frac{6{1}^{2}}{20}$-5（n-$\frac{61}{10}$）²，
∴前n项和S达到最大时，（n-$\frac{61}{10}$）²取得最小值，可得此时n的值为6．
故答案为：$\frac{4}{5}$，$-\frac{1}{7}$，6．

点评 本题主要考查了倍角公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式，等差数列的求和公式，二次函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．